Qual è la sua attuale attività di ricerca? Come si collocano storicamente i suoi studi qui alla SISSA e in generale nel panorama della ricerca italiana?

Quando è nata la SISSA, ventisei anni fa, il primo nucleo di ricerca in matematica è stato proprio in analisi non lineare. Infatti, i primi professori coinvolti sono stati Arrigo Cellina, che ora è a Milano, e io. Successivamente sono andato a Pisa alla Scuola Normale, per ritornare circa venti anni dopo. Alla SISSA c'è sempre stato un gruppo di persone brillanti che hanno lavorato su problemi di analisi non lineare. Attualmente questa branca di ricerca è studiata in tutto il mondo, ma l'Italia è uno dei luoghi dove, a detta di molti esperti, si è radicata meglio: questo è anche merito della SISSA.
Da qui sono emersi negli anni ricercatori e professori di altissimo livello che ora insegnano in diverse realtà accademiche sparse un po' in tutta Italia. Saremo in totale quasi duecento persone, e di questi una grossa parte ha studiato oppure è in qualche modo in relazione con persone che sono state alla SISSA.

Cosa studia l'analisi matematica non lineare?

L'analisi non lineare è un settore dell'analisi matematica, che è un grosso contenitore in cui confluiscono numerose sottodiscipline. È una disciplina abbastanza recente, risalente approssimativamente a cent'anni fa. È emersa in modo naturale quando i problemi della meccanica e della fisica e in generale delle scienze applicate sono diventati abbastanza maturi per affrontare delle questioni più reali, quando cioè coinvolgono dei rapporti non lineari tra le quantità fisiche. Se per esempio il rapporto tra due grandezze è esprimibile mediante una costante, allora si dice che queste sono tra loro in una relazione lineare, ma se la loro mutua dipendenza si esprime in una forma matematica più complessa, ci troviamo di fronte a una relazione di non linearità. I fenomeni delle scienze applicate sono per loro natura non lineari. Storicamente però sono state studiate le approssimazioni lineari di molti fenomeni fisici, perché ovviamente sono più semplici da trattare. Ma con l'andare nel tempo, quando si sono raffinate le tecniche dell'analisi e della geometria, si è arrivati al punto di chiedersi se non si potevano affrontare direttamente dei problemi più aderenti alla realtà. Un classico esempio, forse anche il più conosciuto, è quello del pendolo. Nell'approssimazione lineare le oscillazioni del pendolo risultano isocrone, come aveva pensato Galileo; ma il pendolo reale non ha un "comportamento" lineare. Infatti, l'equazione che ne descrive il moto non è lineare, perché l'accelerazione non è proporzionale allo spostamento ma è proporzionale al seno dello spostamento.
Dopo gli studi iniziali sul pendolo, per così dire, ideale, gli scienziati hanno cominciato a chiedersi se fosse possibile studiare il comportamento di un pendolo reale, da qui sono nate tutta una serie di ricerche.
Questo è solo un caso semplice, oggi l'analisi non lineare si occupa di tante altre questioni che riguardano anche teorie complesse come la meccanica quantistica: per esempio lo studio dell'equazione di Schrödinger in una versione non lineare.
Si sa infatti che l'equazione di Schrödinger riguarda il movimento di una particella, ma quando ci sono più particelle che interagiscono tra di loro, i fisici modellano questa interazione aggiungendo dei termini non lineari nell'equazioni che ne descrivono la dinamica.
Qui alla SISSA, nel nostro gruppo, oltre a studiare equazioni di questo tipo, trattiamo anche problemi geometrici in analisi, e studiamo poi le equazioni non lineari delle onde: questi sono i tre filoni principali su cui concentriamo i nostri sforzi.
Ma in generale i problemi più disparati possono essere affrontati con il formalismo dell'analisi non lineare: un mese fa per esempio un professore canadese ha fatto un seminario sullo tsunami, in cui il movimento delle onde del mare veniva descritto come frutto di un'interazione fortemente non lineare. Anche la meteorologia descrive sistemi che evolvono in maniera non lineare.

Quindi queste ricerche si applicano a discipline completamente diverse, forse anche allo studio di problemi che riguardano l'economia? Lei tra l'altro è anche autore di un libro di matematica per gli economisti.

In un certo periodo delle mie peregrinazioni sono stato anche nella Facoltà di Economia di Venezia. Lì avevo cominciato a studiare determinate problematiche, ho poi scritto insieme a un economista un libro per gli studenti del primo anno che tentava di sviluppare un differente approccio didattico: non volevamo scrivere il solito libro di matematica rivolto agli studenti come se non fossero studenti di economia, ma si cercava di mischiare la matematica con l'economia. Nel libro ci sono argomenti di matematica, i teoremi classici e tutto il resto, ma sempre motivati e applicati a un contesto economico. Poco dopo aver scritto questo libro però, mi sono trasferito a Pisa alla Normale, per cui pur essendoci potenziali problemi molto interessanti da studiare nell'ambito dell'economia, mi sono occupato di matematica per così dire "pura".
C'è stato un periodo in cui andava molto di moda studiare i problemi del caos, studiare i fenomeni caotici in economia: in effetti anche in economia ogni tanto succede un qualche macello!

In proposito, nel 1997 Myron S. Scholes e Robert C. Merton ottennero il premio Nobel per l'economia per un lavoro, svolto con Fischer Black morto due anni prima, sulla teoria delle opzioni, un passo storico per la finanza moderna. Mi sembra avessero sviluppato un modello matematico che aveva a che fare con equazioni simili a quelle che descrivono la propagazione del calore. Un grande esempio di applicazione della matematica in un campo completamente diverso. Ma furono anche i soci fondatori di un fondo speculativo, il Long Term Capital Management (LTCM), che fallì clamorosamente cercando proprio di applicare al mercato quei modelli studiati, ma questa volta per ricavarne dei profitti. Che ne pensa di questa doppia chiave di lettura nell'uso più o meno efficace della matematica nell'economia?

Quando io parlo di economia, parlo di economia teorica. In questo contesto si può sviluppare una teoria economica facendo delle ipotesi iniziali e tentando poi di dimostrare qualcosa grazie a un modello. Però nella realtà delle cose, qualora si venisse a sapere che si è sviluppato un qualche meccanismo che ha una capacità di previsione sugli andamenti del mercato, chiunque potrebbe in ogni momento far variare le condizioni reali di partenza: quindi il mercato non può essere predeterminato in senso assoluto. Non è come in matematica in cui ci sono degli assiomi fissi, come nella geometria euclidea, da cui necessariamente scaturiscono dei teoremi. In economia è molto diverso. Se per esempio faccio l'ipotesi che due petrolieri sviluppano determinate strategie di mercato, posso dedurre una serie di conseguenze. Ma se i soggetti in questione cambiano strategia per le più svariate ragioni, perché scoppia una guerra, perché inventano una macchina che non va a benzina o quant'altro, ovviamente salta tutto.
In ogni caso gli studi in questo campo sono molto affascinanti, perché dimostrano come la matematica può dare una base teorica rigorosa a molte altre discipline.

Quali sono le ricerche future più stimolanti in matematica che un giovane ricercatore può porsi come obiettivo?

Ogni giovane ha la sua sensibilità. Molti sono affascinati da aspetti puramente astratti della matematica: per esempio ci sono dei teoremi del tutto generali che sono esteticamente molto eleganti. Ci sono però molti altri ancora che sono attratti invece dalla capacità della matematica di spiegare i fenomeni. È bello capire il funzionamento delle cose attraverso delle dimostrazioni rigorose o dei teoremi, senza l'arbitrarietà del linguaggio parlato. Sapere per esempio che il movimento dei pianeti intorno al Sole deve essere ellittico, o circolare in certi casi, cioè che necessariamente deve svolgersi in un determinato modo, e che questo discende dalle equazioni di Newton, tutto ciò è sicuramente di grande fascino. Trovare un'unica legge, un'equazione che regola tutto, per poi studiare i singoli casi particolari che possono coinvolgere problemi completamente diversi tra loro, è un obiettivo di grande interesse per le nuove generazioni che si affacciano alla ricerca.
Uno dei compiti del matematico è quello di cercare di trovare delle teorie generali che permettano di vedere tutto sotto uno stesso involucro: per esempio le onde d'acqua o il Sistema solare, sono sistemi descritti da equazioni diverse ma il metodo per risolverle è in un certo senso unico.

Nei media ci sono dei temi scientifici che si tenta di divulgare più di altri, c'è attenzione alla diffusione di contenuti matematici su giornali e televisioni e con quali risultati?

Trovo una quasi totale ignoranza negli attuali giornalisti, spero che anche grazie al Master in Comunicazione della Scienza della SISSA nascano nuovi comunicatori scientifici più preparati.
A questo proposito ricordo un episodio che mi ha colpito molto. Sul "Corriere della Sera" di un po' di tempo fa, cioè non su un quotidiano qualsiasi, sfogliando, leggo a un certo punto un titolo enorme su quattro colonne, Violinista cieco supera Einstein. Incuriosito ho letto l'articolo. Questo violinista cieco, che si dilettava di matematica, aveva lasciato un quaderno di appunti. Quando è morto, il figlio ha trovato questi scritti e ha provato a mandarli un po' in giro, finché la notizia non è arrivata anche all'autore dell'articolo: qui veniva detto che il musicista aveva un metodo generale per risolvere tutte le equazioni. Per deviazione professionale ho subito pensato alle equazioni differenziali, ma leggendo subito dopo si capiva che si trattava di equazioni algebriche.
Gauss ha dimostrato che dopo l'equazione di quinto grado non si possono risolvere equazioni algebriche con delle formule che usino funzioni elementari. Il povero violinista aveva sicuramente dei meriti e delle capacità, pur non essendo uno specialista, però paragonarlo a Einstein è sicuramente esagerato ... Che la gente sia ignorante in matematica, questo può essere comprensibile, ma che un giornalista del genere viva sulla pagina scientifica di un quotidiano nazionale di così alto livello mi sembra incredibile. Non è un caso che Piero Angela si occupa di tutto, dalla fisica all'astrologia, dall'astrofisica alla biologia, ma non tocca mai la matematica. La matematica resta sempre lontana.
Una cosa però va detta: è molto difficile per un matematico parlare a una platea di non esperti, perché o si affrontano argomenti banali oppure, se si vuole parlare di qualcosa di leggermente più interessante, si sa già che il pubblico, costituito normalmente da persone non in grado di risolvere nemmeno un'equazione algebrica di secondo grado, difficilmente potrà seguire il filo del discorso. Per un fisico forse è diverso. Il fisico può rifarsi a un qualche esperimento, può parlare di aspetti fenomenologi. Invece, se si vuole parlare di matematica diventa tutto più complicato.
Un mio amico medico una volta mi chiese: "Ma tu cosa fai all'università, i teoremi non sono oramai stati dimostrati tutti". In effetti per la gente è così, mentre per il medico ci si immagina che debba studiare e curare sempre nuove malattie, per il matematico si ha una percezione completamente diversa. È difficile far comprendere a molti che la matematica non è solo numeri e teoremi già dimostrati. Forse dipende molto anche dalla scuola e dagli insegnanti. Spesso gli insegnanti non hanno sufficienti motivazioni, e non riescono a dare agli studenti quello slancio per capire che la matematica va al di là della singola espressione algebrica da semplificare.

Forse un tema da divulgare potrebbe essere proprio quello di questa capacità della matematica di modellizzare la realtà, della possibilità di unificare fenomeni apparentemente molto diversi?

Non è facile. Conosco dei libri per le scuole medie che hanno tentato di sviluppare un discorso del genere. Per esempio, quelli scritti da un gruppo di ricerca in didattica che fa capo a Giovanni Prodi; ma purtroppo mi sembra che non abbiano avuto un grande successo editoriale, perché in realtà l'insegnante medio non vuole perdere tempo.
In questi testi si parla per esempio del concetto di probabilità, le espressioni algebriche vengono introdotte in maniera originale e motivate con il calcolo delle probabilità. In effetti molto potrebbe essere fornito agli studenti con un approccio più vivace e interessante: la trigonometria, per esempio, se fosse spiegata facendo riferimento a un qualche evento storico simbolicamente importante, come il calcolo del raggio della Terra da parte di Eratostene.
Mi rendo conto che in Italia non esiste una grande tradizione in questo senso. Non c'è sufficiente flessibilità. Penso che la scuola, e in particolare i licei, almeno per quanto riguarda la matematica, non stiano svolgendo un grande compito; per fortuna poi, gli studenti capaci, a cui piace la matematica, emergono sempre e sono anche molto bravi.