Antonio Ambrosetti è un esperto mondiale di analisi matematica non lineare ed è docente nel settore di Analisi Funzionale della SISSA a Trieste. Nel febbraio 2005, ha ricevuto la laura honoris causa dall'Universidad Autonoma di Madrid. Nella conversazione viene delineato un ampio panorama da cui emerge un forte legame tra la matematica e altre discipline, come l'economia. Le motivazioni che spingono giovani ricercatori a nuovi studi in questo campo è il tema finale di questo percorso nella matematica moderna.
Qual è la sua attuale attività di ricerca? Come si collocano storicamente i suoi studi qui alla SISSA e in generale nel panorama della ricerca italiana?
Quando è nata la SISSA, ventisei anni fa, il primo nucleo di ricerca in
matematica è stato proprio in analisi non lineare. Infatti, i primi
professori coinvolti sono stati Arrigo Cellina, che ora è a Milano, e
io. Successivamente sono andato a Pisa alla Scuola Normale, per
ritornare circa venti anni dopo. Alla SISSA c'è sempre stato un gruppo
di persone brillanti che hanno lavorato su problemi di analisi non
lineare. Attualmente questa branca di ricerca è studiata in tutto il
mondo, ma l'Italia è uno dei luoghi dove, a detta di molti esperti, si
è radicata meglio: questo è anche merito della SISSA.
Da qui sono emersi negli anni ricercatori e professori di altissimo
livello che ora insegnano in diverse realtà accademiche sparse un po'
in tutta Italia. Saremo in totale quasi duecento persone, e di questi
una grossa parte ha studiato oppure è in qualche modo in relazione con
persone che sono state alla SISSA.
Cosa studia l'analisi matematica non lineare?
L'analisi non lineare è un settore dell'analisi matematica, che è un
grosso contenitore in cui confluiscono numerose sottodiscipline. È una
disciplina abbastanza recente, risalente approssimativamente a
cent'anni fa. È emersa in modo naturale quando i problemi della
meccanica e della fisica e in generale delle scienze applicate sono
diventati abbastanza maturi per affrontare delle questioni più reali,
quando cioè coinvolgono dei rapporti non lineari tra le quantità
fisiche.
Se per esempio il rapporto tra due grandezze è esprimibile mediante una
costante, allora si dice che queste sono tra loro in una relazione lineare, ma se la loro mutua dipendenza si esprime in una forma matematica più complessa, ci troviamo di fronte a una relazione di non linearità.
I fenomeni delle scienze applicate sono per loro natura non lineari.
Storicamente però sono state studiate le approssimazioni lineari di
molti fenomeni fisici, perché ovviamente sono più semplici da trattare.
Ma con l'andare nel tempo, quando si sono raffinate le tecniche
dell'analisi e della geometria, si è arrivati al punto di chiedersi se
non si potevano affrontare direttamente dei problemi più aderenti alla
realtà.
Un classico esempio, forse anche il più conosciuto, è quello del
pendolo. Nell'approssimazione lineare le oscillazioni del pendolo
risultano isocrone,
come aveva pensato Galileo; ma il pendolo reale non ha un
"comportamento" lineare. Infatti, l'equazione che ne descrive il moto
non è lineare, perché l'accelerazione non è proporzionale allo
spostamento ma è proporzionale al seno dello spostamento.
Dopo gli studi iniziali sul pendolo, per così dire, ideale, gli
scienziati hanno cominciato a chiedersi se fosse possibile studiare il
comportamento di un pendolo reale, da qui sono nate tutta una serie di
ricerche.
Questo è solo un caso semplice, oggi l'analisi non lineare si occupa di
tante altre questioni che riguardano anche teorie complesse come la
meccanica quantistica: per esempio lo studio dell'equazione di
Schrödinger in una versione non lineare.
Si sa infatti che l'equazione di Schrödinger riguarda il movimento di
una particella, ma quando ci sono più particelle che interagiscono tra
di loro, i fisici modellano questa interazione aggiungendo dei termini
non lineari nell'equazioni che ne descrivono la dinamica.
Qui alla SISSA, nel nostro gruppo, oltre a studiare equazioni di questo
tipo, trattiamo anche problemi geometrici in analisi, e studiamo poi le
equazioni non lineari delle onde: questi sono i tre filoni principali
su cui concentriamo i nostri sforzi.
Ma in generale i problemi più disparati possono essere affrontati con
il formalismo dell'analisi non lineare: un mese fa per esempio un
professore canadese ha fatto un seminario sullo tsunami,
in cui il movimento delle onde del mare veniva descritto come frutto di
un'interazione fortemente non lineare. Anche la meteorologia descrive
sistemi che evolvono in maniera non lineare.
Quindi queste ricerche si applicano a discipline completamente diverse, forse anche allo studio di problemi che riguardano l'economia? Lei tra l'altro è anche autore di un libro di matematica per gli economisti.
In un certo periodo delle mie peregrinazioni sono stato anche nella
Facoltà di Economia di Venezia. Lì avevo cominciato a studiare
determinate problematiche, ho poi scritto insieme a un economista un
libro per gli studenti del primo anno che tentava di sviluppare un
differente approccio didattico: non volevamo scrivere il solito libro
di matematica rivolto agli studenti come se non fossero studenti di
economia, ma si cercava di mischiare la matematica con l'economia. Nel
libro ci sono argomenti di matematica, i teoremi classici e tutto il
resto, ma sempre motivati e applicati a un contesto economico. Poco
dopo aver scritto questo libro però, mi sono trasferito a Pisa alla
Normale, per cui pur essendoci potenziali problemi molto interessanti
da studiare nell'ambito dell'economia, mi sono occupato di matematica
per così dire "pura".
C'è stato un periodo in cui andava molto di moda studiare i problemi
del caos, studiare i fenomeni caotici in economia: in effetti anche in
economia ogni tanto succede un qualche macello!
In proposito, nel 1997 Myron S. Scholes e Robert C. Merton ottennero il premio Nobel per l'economia per un lavoro, svolto con Fischer Black morto due anni prima, sulla teoria delle opzioni, un passo storico per la finanza moderna. Mi sembra avessero sviluppato un modello matematico che aveva a che fare con equazioni simili a quelle che descrivono la propagazione del calore. Un grande esempio di applicazione della matematica in un campo completamente diverso. Ma furono anche i soci fondatori di un fondo speculativo, il Long Term Capital Management (LTCM), che fallì clamorosamente cercando proprio di applicare al mercato quei modelli studiati, ma questa volta per ricavarne dei profitti. Che ne pensa di questa doppia chiave di lettura nell'uso più o meno efficace della matematica nell'economia?
Quando io parlo di economia, parlo di economia teorica. In
questo contesto si può sviluppare una teoria economica facendo delle
ipotesi iniziali e tentando poi di dimostrare qualcosa grazie a un
modello. Però nella realtà delle cose, qualora si venisse a sapere che
si è sviluppato un qualche meccanismo che ha una capacità di previsione
sugli andamenti del mercato, chiunque potrebbe in ogni momento far
variare le condizioni reali di partenza: quindi il mercato non può
essere predeterminato in senso assoluto. Non è come in matematica in
cui ci sono degli assiomi fissi, come nella geometria euclidea, da cui
necessariamente scaturiscono dei teoremi. In economia è molto diverso.
Se per esempio faccio l'ipotesi che due petrolieri sviluppano
determinate strategie di mercato, posso dedurre una serie di
conseguenze. Ma se i soggetti in questione cambiano strategia per le
più svariate ragioni, perché scoppia una guerra, perché inventano una
macchina che non va a benzina o quant'altro, ovviamente salta tutto.
In ogni caso gli studi in questo campo sono molto affascinanti, perché
dimostrano come la matematica può dare una base teorica rigorosa a
molte altre discipline.
Quali sono le ricerche future più stimolanti in matematica che un giovane ricercatore può porsi come obiettivo?
Ogni giovane ha la sua sensibilità. Molti sono affascinati da aspetti
puramente astratti della matematica: per esempio ci sono dei teoremi
del tutto generali che sono esteticamente molto eleganti. Ci sono però
molti altri ancora che sono attratti invece dalla capacità della
matematica di spiegare i fenomeni. È bello capire il funzionamento
delle cose attraverso delle dimostrazioni rigorose o dei teoremi, senza
l'arbitrarietà del linguaggio parlato. Sapere per esempio che il
movimento dei pianeti intorno al Sole deve essere ellittico, o
circolare in certi casi, cioè che necessariamente deve svolgersi in un
determinato modo, e che questo discende dalle equazioni di Newton,
tutto ciò è sicuramente di grande fascino. Trovare un'unica legge,
un'equazione che regola tutto, per poi studiare i singoli casi
particolari che possono coinvolgere problemi completamente diversi tra
loro, è un obiettivo di grande interesse per le nuove generazioni che
si affacciano alla ricerca.
Uno dei compiti del matematico è quello di cercare di trovare delle
teorie generali che permettano di vedere tutto sotto uno stesso
involucro: per esempio le onde d'acqua o il Sistema solare, sono
sistemi descritti da equazioni diverse ma il metodo per risolverle è in
un certo senso unico.
Nei media ci sono dei temi scientifici che si tenta di divulgare più di altri, c'è attenzione alla diffusione di contenuti matematici su giornali e televisioni e con quali risultati?
Trovo una quasi totale ignoranza negli attuali giornalisti, spero che
anche grazie al Master in Comunicazione della Scienza della SISSA
nascano nuovi comunicatori scientifici più preparati.
A questo proposito ricordo un episodio che mi ha colpito molto. Sul
"Corriere della Sera" di un po' di tempo fa, cioè non su un quotidiano
qualsiasi, sfogliando, leggo a un certo punto un titolo enorme su
quattro colonne, Violinista cieco supera Einstein.
Incuriosito ho letto l'articolo. Questo violinista cieco, che si
dilettava di matematica, aveva lasciato un quaderno di appunti. Quando
è morto, il figlio ha trovato questi scritti e ha provato a mandarli un
po' in giro, finché la notizia non è arrivata anche all'autore
dell'articolo: qui veniva detto che il musicista aveva un metodo
generale per risolvere tutte le equazioni. Per deviazione professionale
ho subito pensato alle equazioni differenziali, ma leggendo subito dopo
si capiva che si trattava di equazioni algebriche.
Gauss ha dimostrato che dopo l'equazione di quinto grado non si possono
risolvere equazioni algebriche con delle formule che usino funzioni
elementari. Il povero violinista aveva sicuramente dei meriti e delle
capacità, pur non essendo uno specialista, però paragonarlo a Einstein
è sicuramente esagerato ... Che la gente sia ignorante in matematica,
questo può essere comprensibile, ma che un giornalista del genere viva
sulla pagina scientifica di un quotidiano nazionale di così alto
livello mi sembra incredibile. Non è un caso che Piero Angela si occupa
di tutto, dalla fisica all'astrologia, dall'astrofisica alla biologia,
ma non tocca mai la matematica. La matematica resta sempre lontana.
Una cosa però va detta: è molto difficile per un matematico parlare a
una platea di non esperti, perché o si affrontano argomenti banali
oppure, se si vuole parlare di qualcosa di leggermente più
interessante, si sa già che il pubblico, costituito normalmente da
persone non in grado di risolvere nemmeno un'equazione algebrica di
secondo grado, difficilmente potrà seguire il filo del discorso. Per un
fisico forse è diverso. Il fisico può rifarsi a un qualche esperimento,
può parlare di aspetti fenomenologi. Invece, se si vuole parlare di
matematica diventa tutto più complicato.
Un mio amico medico una volta mi chiese: "Ma tu cosa fai
all'università, i teoremi non sono oramai stati dimostrati tutti". In
effetti per la gente è così, mentre per il medico ci si immagina che
debba studiare e curare sempre nuove malattie, per il matematico si ha
una percezione completamente diversa. È difficile far comprendere a
molti che la matematica non è solo numeri e teoremi già dimostrati.
Forse dipende molto anche dalla scuola e dagli insegnanti. Spesso gli
insegnanti non hanno sufficienti motivazioni, e non riescono a dare
agli studenti quello slancio per capire che la matematica va al di là
della singola espressione algebrica da semplificare.
Forse un tema da divulgare potrebbe essere proprio quello di questa capacità della matematica di modellizzare la realtà, della possibilità di unificare fenomeni apparentemente molto diversi?
Non è facile. Conosco dei libri per le scuole medie che hanno tentato
di sviluppare un discorso del genere. Per esempio, quelli scritti da un
gruppo di ricerca in didattica che fa capo a Giovanni Prodi; ma
purtroppo mi sembra che non abbiano avuto un grande successo
editoriale, perché in realtà l'insegnante medio non vuole perdere tempo.
In questi testi si parla per esempio del concetto di probabilità, le
espressioni algebriche vengono introdotte in maniera originale e
motivate con il calcolo delle probabilità. In effetti molto potrebbe
essere fornito agli studenti con un approccio più vivace e
interessante: la trigonometria, per esempio, se fosse spiegata facendo
riferimento a un qualche evento storico simbolicamente importante, come
il calcolo del raggio della Terra da parte di Eratostene.
Mi rendo conto che in Italia non esiste una grande tradizione in questo
senso. Non c'è sufficiente flessibilità. Penso che la scuola, e in
particolare i licei, almeno per quanto riguarda la matematica, non
stiano svolgendo un grande compito; per fortuna poi, gli studenti
capaci, a cui piace la matematica, emergono sempre e sono anche molto
bravi.
La conclusione del “caso Englaro” non chiude la questione spinosa della legge sul testamento biologico che in Italia ancora manca e anzi, se come è probabile, verrà votata in questi giorni una legge circoscritta unicamente all'alimentazione e all'idratazione artificiale dei pazienti incapaci di provvedere a se stessi, si rischia di cadere nel caos più assoluto. Come spiega Mario Riccio, medico “Che ha fatto la volontà di Piergiorgio Welby” come recita il titolo di un suo libro – e che è stato assolto l'anno scorso dall'accusa di “omicidio consenziente” - non saranno solo i cittadini a farne le conseguenze, ma anche i medici che si troveranno ad affrontare situazioni sempre più complicate e pazienti sempre meno fiduciosi.
Il caso Englaro - Beppino Englaro il padre di Eluana, una donna in coma per 17 anni, dopo varie battaglie legali ha ottenuto la sospensione delle cure che tenevano in vita la figlia scatenando così la forte opposizione da parte del Governo Italiano -, ha messo in evidenza la necessità di una legge per il testamento biologico in Italia. Il rischio, o la certezza visto il disegno di legge che dovrebbe essere approvato a breve, è che nella fretta si finisca per far passare un provvedimento parziale e che limiterà la libertà di scelta di ogni cittadino. Con Giovanni Boniolo, filosofo della scienza esperto di bioetica e coordinatore del dottorato in “Foundation of life sciences and their ethical consequences” abbiamo discusso della deriva italiana in fatto di autodeterminazione del paziente.
Il Large Hadron Collider è un dispositivo lungo 27 chilometri situato a circa 100 metri di profondità al confine tra Francia e Svizzera. Al suo interno i fasci di protoni corrono a velocità della luce. In alcuni punti la temperatura è da brivido, quasi 270 gradi sotto zero. Ma quando i protoni si scontrano la temperatura sale fino a diventare 1000 miliardi di volte maggiore di quella al centro del Sole. I suoi numeri sono da record: LHC oggi è la macchina più potente e la fabbrica di informazioni più grande del mondo. Il suo obiettivo principale? Trovare una particella: il bosone di Higgs. Maria Curatolo, responsabile per l’INFN dell’esperimento ATLAS, spiega a Scienza Esperienza gli obiettivi degli esperimenti di LHC.